已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，（1）若|AB|=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．

题目

已知直线l：y=x+m与抛物线y²=8x交于A、B两点，
（1）若|AB|=10，求m的值；
（2）若OA⊥OB，求m的值．

答案

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
（1）

y=x+m y2=8x

⇒x²+（2m-8）x+m²=0------------------------------（1分）
⇒

△=(2m-8)2-4m2＞0 x1+x2=8-2m x1x2=m2

-----------------------------------------------（3分）|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=10，m=

7

16

----（5分）
∵m＜2，∴m=

7

16

---------------------------------------------------------（6分）
（2）∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0------------------------------------（7分）
x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0-----------------------------------------（9分）
2m²+m（8-2m）+m²=0，m²+8m=0，m=0orm=-8，---------------------------------（11分）
经检验m=-8------------------------------------------------------------（12分）

（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用弦长公式可求；
（2）由于OA⊥OB，从而有x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力．