在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a/b+b/a=6cosC，则tanC/tanA+tanC/tanB的值是_．

题目

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

a

b

答案

∵

a

b

+

b

a

=6cosC，
由余弦定理可得，

a2+b2

ab

＝6•

a2+b2−c2

2ab

∴a2+b2＝

3c2

2

则

tanC

tanA

+

tanC

tanB

=

cosAsinC

cosCsinA

+

cosBsinC

cosCsinB

=

sinC

cosC

(

cosA

sinA

 +

cosB

sinB

)
=

sinC

cosC

•

sinBcosA+sinAcosB

sinAsinB

=

sin2C

sinAsinBcosC

=

c2

abcosC

=

c2

ab

•

2ab

a2+b2−c2

=

2c2

3c2 2 −c2

＝4
故答案为：4