一道数学分析题：设a为有理数,x为无理数.证明：(1) a+x 是无理数；(2)当 a 不等于零时,ax 是无理数.

题目

一道数学分析题：设a为有理数,x为无理数.证明：(1) a+x 是无理数；(2)当 a 不等于零时,ax 是无理数.

答案

1）任何有理数都可以表示为：q/p的形式,p,q都是整数；反过来也是一样,任何形如 q/p形式的数都是一样.a是有理数,所以a＝q/p 若a+x是有理数,那么：a+x=q'/p',x=q'/p'-a=q'/p' -q/p =(p*q'-q*p')/(p*p') 即x=(p*q'-q*p')/(p*p') 那么x也是有理数,这与 x是无理数矛盾.2)若ax是有理数,ax＝q'/p',x=pq'/(q*p') 那么x也是有理数,与x是无理数矛盾.