双曲线x2a2−y2b2＝1的左右焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率e为（　　） A.3 B.233 C.53 D.

题目

双曲线

x2

a2

−

y2

b2

＝1的左右焦点为F₁，F₂，P是双曲线上一点，满足|

PF2

|=|

F1F2

|，直线PF₁与圆x²+y²=a²相切，则双曲线的离心率e为（　　）
A.

3

B.

2 3

3

C.

5

3

D.

5

4

答案

设PF₁与圆相切于点M，过F₂做F₂H垂直于PF₁于H，则H为PF₁的中点，
∵|

PF2

|=|

F1F2

|，
∴△PF₁F₂为等腰三角形，
∴|

F1M

| =

1

4

| 

PF1

|，
∵直角三角形F₁MO中，
|

F1M

|2=c2-a2，
∴|

F1M

|=b=

1

4

|

PF1

|，
∴2a=4b-2c
∵c²=a²+b²，
∴3c=5a，
∴e=

5

3

．
故选C．

结合题设条件能够导出|

F1M

| ＝

1

4

| 

PF1

|，直角三角形F₁MO中，|

F1M

|2＝c2−b2，|

F1M

|=b=

1

4

|

PF1

|，c=2b，再由c²=a²+b²，知a=

3

b，由此能求出e=

5

3

．

本题考点：圆与圆锥曲线的综合．

考点点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要熟练掌握双曲线的性质和应用．