若函数f(x)=cos的平方x+2msinx-2m-2对任何实数x属于R都有f(x)

题目

若函数f(x)=cos的平方x+2msinx-2m-2对任何实数x属于R都有f(x)<0恒成立.求实数m的取值范围

答案

不等式f（x）<0即2m(sinx-1)<2-(cosx)^2=(sinx)^2+1.
由于-1<=sinx<=1.所以-2<=sinx-1<=0.
讨论.
1,当sinx-1=0时,sinx=1,不等式左边=0,右边=2.不等式成立.任意m满足条件；
2,当sinx-1不等于0,即sinx-1<0时,两边同时除以sinx-1得2m>[(sinx)^2+1]/(sinx-1)=[(sinx)^2-1+2]/(sinx-1)=[sinx+1+2/(sinx-1)]=[sinx-1+2/(sinx-1)+2]
由于sinx-1<0,有max[sinx-1+2/(sinx-1)+2]=2-2根号2（当且仅当sinx-1=2/(sinx-1),sinx-1=-根号2,sinx=1-根号2时取得最大值）
所以2m>2-2根号2,m>1-根号2为最终答案.