已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点

题目

已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点
O为坐标原点,若直线AP与直线BP的斜率之积为-1/2,则椭圆的离心率为

答案

令P（x,y)
那么AP斜率k1=y/(x+a)
BP斜率k2=y/(x-a)
于是k1k1=-1/2
即y²/(x+a)(x-a)=-1/2
化简就是x²/a²+y²/(a²/2)=1
又有x²/a²+y²/b²=1
于是b²=a²/2
还有b²=a²-c²
于是a²-c²=a²/2
化得c/a=根号2/2
即e=c/a=根号2/2