已知数列An中,其前n项和为Sn,A1=1,且An+1=2Sn,求An的通项公式和Sn

题目

已知数列An中,其前n项和为Sn,A1=1,且An+1=2Sn,求An的通项公式和Sn

答案

因为：An+1=2Sn,则A(n-1)+1=2S(n-1)
那么：2Sn-2S(n-1)=（An+1）-（A(n-1)+1）（n>=2）
又因为：2Sn-2S(n-1)=2An（n>=2）
所以：2An=（An+1）-（A(n-1)+1）
整理得：An=-A(n-1)（n>=2）
即：An/A(n-1)=-1,为等比数列
所以：An=(-1)^(n-1)（n>=2）
当n=1时,带入可得：A1=1,与所给条件相同,故也适合公式：An=(-1)^(n-1)
综上所知：An=(-1)^(n-1)
将An带入An+1=2Sn,得到
Sn=[(-1)^(n-1)+1]/2