已知圆O1与圆O2相交于A,B 圆O2的圆心在圆O1上 P为圆O1上一点 PA的延长线交圆O2于D点 PB交圆O2于C点 求证

题目

已知圆O1与圆O2相交于A,B 圆O2的圆心在圆O1上 P为圆O1上一点 PA的延长线交圆O2于D点 PB交圆O2于C点 求证
大致是圆01在左边（且是大圆）,圆02在右边（是小圆）,

答案

解题要领：
① 解答数学图形题,首先正确吃透题意,快速理解 或 画出图形；
② 准确的图形能帮助、引导自己快速形成思路；
③ 这类题的解法,一般采用 “ 倒推法 ” .
证明思路：采用 “ 倒推法 ”
（1） 要想证明出 PA ：AD = PC ：BC ,需要知道 AC ‖ BD .
（2）要想知道 AC ‖ BD ,需要 同位角相等,即：∠PAC = ∠D.
而由“圆内接四边形的一个外角等于它的内对角” 知：∠PAC = ∠PBD.
所以,只要证明出 ∠PBD = ∠D 即可,
证明出∠PBD = ∠D,就可得到 2∠D + ∠P = 180° .
事实上,在圆O2 中,由 弧AB所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍 知：
∠AO2B = 2∠D .
至此,问题归结为：只需证明∠AO2B + ∠P = 180° .
此结论显然成立.故 命题得证.
具体证明和过程如下：
连 O2A 、O2B 、AC 、BD .
在圆O2 中,由弧AB所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍 知：
∠AO2B = 2∠D .---------------------------------- ①
在圆O1 中,由 圆内接四边形对角互补 知：
∠AO2B + ∠P = 180° ------------------------------- ②
由 ① ② 得：2∠D + ∠P = 180°
在△PBD中,(∠D + ∠PBD) + ∠P = 180°
∴ ∠D + ∠PBD = 2∠D ,即：∠PBD = ∠D .------------------------ ③
∵ 四边形ACBD 是圆内接四边形,
∴ ∠PAC = ∠PBD -------------------------------- ④
由③ ④ 知：∠D = ∠PAC .
∴ AC ‖ BD
∴ PA ：AD = PC ：BC .
祝您学习顺利!