设AB是过抛物线y^2=2px焦点F的任一弦,求证：绝对值AB大于等于2p

题目

设AB是过抛物线y^2=2px焦点F的任一弦,求证：绝对值AB大于等于2p

答案

设抛物线方程为：
y^2 = 2px ………………（1）
其中p>0
则焦点坐标为：
F=(p/2,0)




如图：过焦点做不垂直于x轴的直线AB,设其斜率为k（k不为0,否则直线与抛物线只有1个交点）
则：直线AB的方程为：
y = k(x-p/2) ………………（2）
根据抛物线性质,其通经长度为2p.
现在我们证明,对于任何的斜率k,AB的长度都比2p大.
根据抛物线性质（抛物线上的任1点到焦点F的距离与到准线CD的距离相等）,显然AB的距离为：
|AB| = |AF| + |BF| = |AC| + |BD|
= (p/2 + x1) + (p/2 + x2)
= p + (x1 + x2)
其中x1,x2分别为A、B两点的横坐标.
联合（1）（2）两个式子,得：
[ k(x-p/2) ]^2 = 2px
(kx)^2 - (k^2+2)px + (kp/2)^2 = 0
则：
x1 + x2 = (k^2+2)p / k^2 = p + 2p/k^2 > p
所以：
|AB| = p + (x1 + x2) > 2p
可见,只要AB不垂直于x轴,其长度就大于通经2p,即通径为抛物线中过焦点最短的弦.
证毕.