函数f(x)=lnx-1x−1在区间(k,k+1)(k∈N*)上存在零点,则k的值为( ) A.0 B.2 C.0或2 D.1或2
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函数f(x)=lnx-1x−1在区间(k,k+1)(k∈N*)上存在零点,则k的值为( ) A.0 B.2 C.0或2 D.1或2
题目
函数f(x)=lnx-
1
x−1
答案
由函数的解析式可得函数的定义域为{x|x>0 且x≠1},求得函数的导数f′(x)=
1
x
+
1
(x−1)
2
在它的定义域内为正实数,
故函数f(x)在区间(0,1),及(1,+∞)都是单调递增的,
再根据 f(
1
e
2
)=-2-
1
1
e
2
−1
=-2+
e
2
e
2
−1
=-2+
(e
2
−1)+1
e
2
−1
=-1+
1
e
2
−1
<0,f(
1
e
)=-1+
e
e−1
=-1+
(e−1)+1
e−1
=
1
e−1
>0,
可得 f(
1
e
2
)f(
1
e
)<0,故函数f(x)在区间(
1
e
2
1
e
)上有一个零点,故函数f(x)在区间(0,1)上有一个零点,故k=0满足条件.
再由 f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3-
1
2
>0,f(2)f(3)<0,可得函数在(2,3)上存在1个零点,故k=2满足条件.
故选 C.
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