已知三角形ABC,角A,B,C对应三边分别为a,b,c.已知cosA=2/3,sinB=根号5cosC.1,求tanC.2若a=2,求面积

题目

已知三角形ABC,角A,B,C对应三边分别为a,b,c.已知cosA=2/3,sinB=根号5cosC.1,求tanC.2若a=2,求面积

答案

由cosA=2/3.结合0º＜A＜180º可得:
sinA=(√5)/3.cosA=2/3.
[[[[1]]]]
结合sinB=(√5)cosC及sinA=(√5)/3可得
sinAsinB=(5/3)cosC.
∴cosC=cos[180º-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=sinAsinB-cosAcosB
=[(5/3)cosC]-[(2/3)cosB]
即:cosC=[(5/3)cosC]-[(2/3)cosB]
∴cosB=cosC
∴∠B=∠C.
故由题设sinB=(√5)cosC可得
sinC=(√5)cosC
∴tanC=(sinC)/(cosC)=√5
即tanC=√5.
[[[[[2]]]]
由上面∠B=∠C可得:b=c.
由余弦定理可得
2/3=cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(2b²-4)/(2b²)=1-(2/b²)
2/b²=1/3
b=c=√6
S=(1/2)bcsinA=3sinA=√5