设函数y=f(x)对于x>0有意义,且满足条件:f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)在(0,+∞)上为增函数, ①证明:f(1)=0; ②求f(4)的值; ③如果f(x)+f(x-3
题目
设函数y=f(x)对于x>0有意义,且满足条件:f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)在(0,+∞)上为增函数,
①证明:f(1)=0;
②求f(4)的值;
③如果f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.
答案
①令x=1代入题中条件,得f(y)=f(1)+f(y) 得f(1)=0;
②令x=y=2代入题中条件,
得f(2×2)=f(2)+f(2),得f(4)=2f(2)
∵f(2)=1,∴f(4)=2f(2)=2
③∵f(x)+f(x-3)≤2,
∴f(x(x-3))≤f(4)
结合f(x)在(0,+∞)上为增函数,可得
解之得 3<x≤4,实数x的取值范围为(3,4].
(1)将x=1代入条件,化简即得f(1)=0;
(2)令x=y=2代入题中条件,算出f(4)=2f(2),结合f(2)=1即可算出f(4)的值;
(3)根据函数对应法则,得f(x)+f(x-3)=f(x(x-3)),将不等式右边的2化成f(4),结合函数的定义域与单调性建立关于x的不等式组,解之即可得到实数x的取值范围.
抽象函数及其应用.
本题给出抽象函数,求函数的值并求解关于x的不等式.着重考查了函数单调性、函数值的求法等知识,属于中档题.利用“赋值法”使抽象函数问题具体化,是解决这类问题的关键所在.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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