已知向量a=(1,2),b=(-3,2),向量x=ka+b,y=a-3b (1)当k为何值时,向量x⊥y; (2)若向量x与y的夹角为钝角,求实数k的取值范围.
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已知向量a=(1,2),b=(-3,2),向量x=ka+b,y=a-3b (1)当k为何值时,向量x⊥y; (2)若向量x与y的夹角为钝角,求实数k的取值范围.
题目
已知向量
a
=(1,2),
b
=(-3,2),向量
x
=k
a
+
b
,
y
=
a
-3
答案
(1)
x
=k(1,2)+(−3,2)=(k-3,2k+2),
y
=(1,2)−3(−3,2)=(10,-4),
∵
x
⊥
y
,∴
x
•
y
=10(k-3)-4(2k+2)=0,解得k=19.
∴当k=19时,向量
x
⊥
y
;
(2)∵
x
•
y
=2k-38,由cos<
x
,
y
>=
x
•
y
|
x
| |
y
|
<0,∴2k-38<0,解得k<19.
由-(2k-38)=
(k−3)2+(2k+2)2
•
102+42
,化为(3k+1)
2
=0,解得k=-
1
3
.
∴当k=-
1
3
时,
x
与
y
共线反向,为平角,应舍去.
∴当k<19且k≠−
1
3
时,向量
x
与
y
的夹角为钝角.
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