直线l：y=kx与圆C1：(x-1)^2+y^2=1相交于A、B两点,圆C2与圆C1相外切,且与直线l相切于点M（3,根号3）

题目

直线l：y=kx与圆C1：(x-1)^2+y^2=1相交于A、B两点,圆C2与圆C1相外切,且与直线l相切于点M（3,根号3）
求圆C2的方程（请给出过程）

答案

点M(3,√3) 在直线 l 上,代入直线方程得 k=√3/3；
过 M 与 l 垂直的直线方程为 y=-√3(x-3)+√3=-√3x+4√3；圆 C2 的圆心应在此直线上；
若设 C2 的圆心坐标为(x,y),则 |C2C1|=|C2M|+1；
即 √[(x-1)²+y²]=√[(x-3)²+(y-√3)²] +1,两端平方化简：-2x=-6x-2√3y+12+2√[(x-3)²+(y-√3)²]；
移项并将 y=-√3x+4√3 代入：2√3(4√3-√3x)+4x-12=2√[(x-3)²+(3√3-√3x)²]；
再次化简方程：(6-x)²=4(x-3)²,即 3x²-12x=0；解方程得 x=0、x=4；相应 y=4√3、y=0；
圆 C2 有两个：x²+(y-4√3)²=3²+(4√3-√3)²=6²；(x-4)²+y²=(4-3)²+√3²=2²；