{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对所有正整数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项

题目

{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对所有正整数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项
（1）写出数列{an}的前三项.（2）求数列{an}的通项公式.

答案

(1)∵an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项
由﹛an﹜是正项数列
∴(an+2)/2=√2Sn
∴8Sn=(an+2)²
∴n=1时,8a1=(a1+2)²,a1=2
n=2时,8(2+a2)=(a2+2)²,a2=6
n=3时,8(2+6+a3)=(a3+2)²,a3=10
(2)∵8Sn=(an+2)²
∴8S(n-1)=[a(n-1)+2]²,n≥2
∴8an=8Sn-8S(n-1)=an²+4an-a(n-1)²-4a(n-1)
∴an²-a(n-1)²-4an-4a(n-1)=0
∴[an+a(n-1)][an-a(n-1)-4]=0
∵﹛an﹜是正项数列
∴an+a(n-1)][＞0
∴an-a(n-1)-4=0
∴an=a(n-1)+4
∴an=a1+(n-1)×4=4n-2
n=1时,a1=4-2=2,成立
∴an=4n-2


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