当0≤X≤1/2时,不等式|ax-2x^3|≤1/2 恒成立,则实数a的取值范围

题目

当0≤X≤1/2时,不等式|ax-2x^3|≤1/2 恒成立,则实数a的取值范围

答案

不等式化为 -1/2<=ax-2x^3<=1/2,
因为 x=0 满足条件,
所以 只须 2x^2-1/(2x)<=a<=2x^2+1/(2x) 在（0,1/2] 上恒成立.
考察函数 f(x)=2x^2-1/(2x),它在 （0,1/2] 上单调递增,因此 max=f(1/2)=-1/2,
考察函数 g(x)=2x^2+1/(2x),它在 （0,1/2] 上单调递减,因此 min=f(1/2)=3/2,
因此,所求的 a 的取值范围是：[-1/2,3/2] .