已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a). (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值; (2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.
题目
已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).
(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.
答案
函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a,
(1)当a=2时,f(x)=log
2(|x-1|+|x-5|-2)
设g(x)=|x-1|+|x-5|,则
g(x)=|x−1|+|x−5|= | 2x−6(x≥5) | 4(1<x<5) | 6−2x(x≤1) |
| |
.(3分)
g(x)
min=4,f(x)
min=log
2(4-2)=1.(5分)
(2)由(I)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4,7分|x-1|+|x-5|-a>0,
∴a<4
∴a的取值范围是(-∞,4).(10分)
(1)设g(x)=|x-1|+|x-5|,则
g(x)=|x−1|+|x−5|= | 2x−6(x≥5) | 4(1<x<5) | 6−2x(x≤1) |
| |
.由此可知g(x)
min.
(2)由题意知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4,|x-1|+|x-5|-a>0,由此可知a的取值范围.
对数函数的定义域;对数函数的单调性与特殊点.
本题考查对数函数的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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