讨论曲线f（x）=3x-x3的单调性、极值、凹向和拐点并作图．

题目

讨论曲线f（x）=3x-x³的单调性、极值、凹向和拐点并作图．

答案

先求一阶导，y′=3-3x²=-3（x+1）（x-1），
令y′＜0，得到单调减区间（-∞，-1）和（1，+∞）；令y′≥0，得到单调增区间[-1，-1]；
令y′=0，得到驻点x=-1和x=1，且在这两个点左右增减性发生变化，
其中x=-1时，取得极小值f（-1）=-2；x=1时，取得极大值f（1）=2；
再求二阶导，y″=-6x，
令y″＜0，得到凸区间（0，+∞），令y″≥0，得到凹区间（-∞，0]；
令y″=0，x=0，且在x=0两侧凹凸性发生了变化，故拐点为（0，0）．
根据以上性质做出函数图象为：
．