已知函数f(x)＝x/lnx（x＞0，x≠1）． （1）求函数f（x）的极值； （2）若不等式ex/a＞x对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

题目

已知函数f(x)＝

x

lnx

（x＞0，x≠1）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若不等式e

x

a

＞x对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）函数f(x)＝xlnx的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′(x)＝lnx−1ln2x，…（3分）令f'（x）=0，解得x=e，列表 x （0，1） （1，e） e （e，+∞） f'（x） - - 0 + （0，1） 单调递减 单...

（1）先确定函数的定义域，再求导函数，确定函数的单调区间，从而确定函数f（x）的极值；
（2）当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立；当x＞0时，在e

x

a

＞x两边取自然对数，得

x

a

＞lnx，再分0＜x≤1，x＞1，进行讨论，进而可求a的取值范围．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，同时考查分类讨论的数学思想，有综合性．