1.已知方程x+5x^2=10,不解方程,求作一个一元二次方程,使所求方程的两根分别比原方程的两根大3.

题目

1.已知方程x+5x^2=10,不解方程,求作一个一元二次方程,使所求方程的两根分别比原方程的两根大3.
2.设a,b,c为三角形ABC的三边长,且二次三项式x^2+2ax+b^2与x^2+2cx-b^2有一次公因式.求证：三角形ABC一定是直角三角形.

答案

1.因为x+5x^2=10,
所以5x^2+x-10=0,
设此方程的两个根为x1,x2,
则有x1+x2=-1/5,x1*x2=-2,
所以(x1+3)+(x2+3)=x1+x2+6=29/5,
所以(x1+3)*(x2+3)=x1*x2+3(x1+x2)+9=-2+3*(-1/5)+9=32/5,
所以以分别比原方程的两根大3的方程为t^2-(29t/5)+(32/5)=0,
即5t^2-29t+32=0;
2.因为二次三项式x^2+2ax+b^2与x^2+2cx-b^2有一次公因式,
所以方程x^2+2ax+b^2=0与方程x^2+2cx-b^2=0有公共根,
设此两个方程的公共根为x,
则有x^2+2ax+b^2=x^2+2cx-b^2,
所以2b^2=2(c-a)x,
所以x=b^2/(c-a),
把x=b^2/(c-a)代入x^2+2ax+b^2=0,得
[b^2/(c-a)]^2+2a[b^2/(c-a)]+b^2=0,
所以b^4/(c-a)^2+2ab^2/(c-a)+b^2=0,
所以b^4+2ab^2(c-a)+b^2(c-a)^2=0,
两边同除以b^2得b^2+2a(c-a)+(c-a)^2=0,
所以b^2+2ac-2a^2+c^2-2ac+a^2=0,
所以b^2-a^2+c^2=0,
所以b^2+c^2=a^2,
所以三角形ABC一定是直角三角形.