设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=e-x-y x>0,y>0;0,其他.求证明x,y相互独立.

题目

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=e-x-y x>0,y>0;0,其他.求证明x,y相互独立.

答案

首先分别计算x和y的边际密度函数,如下：
x的边际密度函数：x<0时,边际密度为0,x>0时,如下：

 
同理可得y的边际密度函数：y<0时,边际密度为0,y>0时,如下：

 
然后由

可知x,y相互独立.