已知函数f(x)＝sinx+3cosx， x∈R． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若f(α−π3)＝6/5，α∈(0，π2)，求f(2α−π3)的值．

题目

已知函数f(x)＝sinx+

3

cosx， x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f(α−

π

3

)＝

6

5

，α∈(0，

π

2

)，求f(2α−

π

3

)的值．

答案

（1）f(x)＝sinx+

3

cosx=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=2sin(x+

π

3

)．
所以函数f（x）的最小正周期是2π．
（2）由（1）得，f(x)＝2sin(x+

π

3

)．
因为f(α−

π

3

)＝

6

5

，所以f(α−

π

3

)＝2sin(α−

π

3

+

π

3

)＝2sinα＝

6

5

．
即sinα＝

3

5

．    
因为α∈(0，

π

2

)，所以cosα＝

1−sin2α

＝

4

5

．
所以f(2α−

π

3

)＝2sin(2α−

π

3

+

π

3

)＝2sin2α
=4sinαcosα
=4×

3

5

×

4

5

=

48

25

．

（1）利用两角和的正弦公式及周期即可得出；
（2）利用（1）及已知可得sinα，进而得到cosα，于是可得f(2α−

π

3

)．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本小题主要考查周期的概念，考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想．