设数列｛an｝是正数组成的数列,其前n项和Sn,且对任意n属于N*,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,求

题目

设数列｛an｝是正数组成的数列,其前n项和Sn,且对任意n属于N*,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,求

答案

因为an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项
所以(an+2)/2=√(2Sn)
即Sn=(an+2)^2/8.(1)
当n=1时
a1=S1=(a1+2)^2/8
解得a1=2
当n≥2时
S(n-1)=(a(n-1)+2)^2/8.(2)
(1)-(2)得an=Sn-S(n-1)=(an+2)^2/8-(a(n-1)+2)^2/8
化简得(an-2)^2=(a(n-1)+2)^2
所以an-2=a(n-1)+2或an-2=-[a(n-1)+2]
即an=a(n-1)+4或an=-a(n-1)
其中an=-a(n-1)与数列{an}是正数组成的数列相矛盾,舍去
故an=a(n-1)+4
所以数列{an}是以a1=2为首项,4为公差的等差数列
所以an=a1+(n-1)d=2+4(n-1)=4n-2