已知实数a,b,c满足abc=-1,a+b+c=4,a/a2−3a−1+b/b2−3b−1+c/c2−3c−1=4/9,则a2+b2+c2=_.
题目
已知实数a,b,c满足abc=-1,a+b+c=4,
a |
a
答案
∵abc=-1,a+b+c=4, ∴a 2-3a-1=a 2-3a+abc=a(bc+a-3)=a(bc-b-c+1)=a(b-1)(c-1), ∴ = , 同理可得: = , = , 又 + + = , ∴ + + = , ∴ (a−1)+(b−1)+(c−1) | (a−1)(b−1)(c−1) |
= ,即 (a-1)(b-1)(c-1)=(a-1)+(b-1)+(c-1), 整理得: (abc-ab-ac-bc+a+b+c-1)=a+b+c-3, 将abc=-1,a+b+c=4代入得:ab+bc+ac=- , 则a 2+b 2+c 2=(a+b+c) 2-2(ab+bc+ac)= . 故答案为: .
举一反三
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