设正系数一元二次方程ax^2+bx+c=0有实根,证明：

题目

设正系数一元二次方程ax^2+bx+c=0有实根,证明：
(1)min{a,b,c}小于等于1/4(a+b+c)
(2)max{a,b,c}大于等于4/9(a+b+c)

答案

(1)一元二次方程ax^2+bx+c=0有实根,则b^2>=4ac,b>=2√(ac),a+b+c>=a+b+√(ac)+√(ac),a,b,√(ac),√(ac)这4个数之和小于等于a+b+c,故这4个数中最小的数必小于等于a+b+c的4分之一,由于√(ac)是a.c的几何平均,故a,c之一必是4个数中最小的,从而得min{a,b,c}小于等于1/4(a+b+c)
(2)(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca,分两种情况讨论
1.a>=c,由b^2>=4ac得b>=2c,c^2