已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=x3+x+1，求f（x）的解析式．

题目

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=x³+x+1，求f（x）的解析式．

答案

设x＜0  则-x＞0，∵x＞0时f（x）=x³+x+1，
∴f（-x）=-x³-x+1，∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴-x³-x+1=-f（x），
∴f（x）=x³+x-1，（x＜0）由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，
∴f（x）=

x3+x+1，(x＞0) 0，(x＝0) x3+x−1，(x＜0)

．

要求f（x）解析式，只需求出x≤0时表达式即可，设x＜0  则-x＞0，由奇函数性质及已知表达式可求得x＜0时f（x），由奇函数性质可求f（0）=0．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，考查学生综合利用函数性质解决问题的能力．