是否存在这样一个正整数，当它加上100时是一个完全平方数，当它加上129时是另一个完全平方数？若存在，请求出这个正整数；若不存在，请说明理由．

题目

是否存在这样一个正整数，当它加上100时是一个完全平方数，当它加上129时是另一个完全平方数？若存在，请求出这个正整数；若不存在，请说明理由．

答案

假设存在这样的正整数m，由题意得：
m+100=x²①；m+129=y²②，
②-①得y²-x²=29．所以（y+x）（y-x）=29×1．
只有当x+y=29，y-x=1时，成立，即

x+y＝29 y−x＝1

，
解得：

y＝15 x＝14

，
所以m=x²-100=14²-100=196-100=96，
∴存在正整数96，当它加上100时是一个完全平方数，当它加上129时是另一个完全平方数．

利用分解因式求不定方程的整数解，再求m的值，进而得出答案．

本题考点：完全平方数．

考点点评：此题主要考查了运用公式法因式分解以及二元一次方程组的解法，得出x+y=29，y-x=1是解题关键．