如图所示,AC平分∠DAB,AB>AD,CB=CD,CE⊥AB于E, (1)求证:AB=AD+2EB; (2)若AD=9,AB=21,BC=10,求AC的长.
题目
如图所示,AC平分∠DAB,AB>AD,CB=CD,CE⊥AB于E,
(1)求证:AB=AD+2EB;
(2)若AD=9,AB=21,BC=10,求AC的长.
答案
(1)证明:延长线段AD,过C作CF⊥AD交AD得延长线于F,
∵AC为∠DAE的平分线,CE⊥AB,CF⊥AF,
∴CE=CF,
在Rt△CFD和Rt△CEB中
,
∴Rt△CFD≌Rt△CEB(HL),
∴FD=EB,
又在Rt△CFA和Rt△CEA中
,
∴Rt△CFA≌Rt△CEA(HL),
∴AF=AE,
则AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+EB=AD+2EB;
(2)∵AD=9,AB=21,
由(1)得AB=AD+2EB,代入得9+2EB=21,
解得EB=6,
∴AE=AB-EB=21-6=15,
又∵BC=10,
在Rt△CEB中,根据勾股定理得:
CE=
=8,
在Rt△ACE中,根据勾股定理得:
AC=
=17.
(1)延长线段AD,过C作CF垂直于AF,又CE垂直于AB,且AC为角平分线,根据角平分线定理得到CF=CE,又CD=CB,利用HL即可得到直角三角形FDC与直角三角形ECB全等,根据全等三角形的对应边相等得到FD=EB,再由CF=CE,AC为公共边,利用HL得到直角三角形ACF与直角三角形ACB全等,根据全等三角形的对应边相等得到AF=AE,由AF=AD+DF,等量代换即可得证;
(2)由AD和AB的长,根据(1)证明的结论,求出EB的长,再由AE=AB-EB,求出AE的长,在Rt△CEB中,根据勾股定理得CE的 长,在直角三角形ACE中,求出AC的长.
等腰三角形的性质;角平分线的定义;全等三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质;等腰梯形的性质;等腰梯形的判定.
此题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线定理以及勾股定理,对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径,构造过程中要不断的转化问题或转换思维的角度,会转化,善于转化,更能体现思维的灵活性.遇到角平分线常常过角平分线上的点作角两边的垂线,进而利用角平分线定理解决问题,作出辅助线是本题的突破点.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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