已知椭圆(x^2)/2+y^2=1,过点A（2,1）的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点轨迹方程.

题目

已知椭圆(x^2)/2+y^2=1,过点A（2,1）的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点轨迹方程.
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答案

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∵直线L过定点A(2,1)
∴数形结合,可设直线L
y=kx+1-2k
与椭圆方程联立,整理可得:
(1+2k²)x²-4k(2k-1)x+8k(k-1)=0
设弦的两个端点为M(x1,kx1+1-2k),N(x2,kx2+1-2k)
由韦达定理可得:x1+x2=4k(2k-1)/(1+2k²).
设弦MN的中点P(x,y)
则由中点坐标公式,可得
2x=x1+x2=4k(2k-1)/(1+2k²)
2y=k(x1+x2)+2-4k=(2-4k)/(1+2k²)
这两个式子相除,可得
x/y=-2k,
即k=-x/(2y)
易知,中点P也在直线L:y=kx+1-2k上.
把k=-x/(2y)代入上式,消去k,即得轨迹方程:
x²+2y²-2x-2y=0
整理就是:
[(x-1)²/0.5]+[(y-0.5)²/0.25]=1