求积分:∫[1/sinx(1-cosx)]dx,

题目

求积分:∫[1/sinx(1-cosx)]dx,

答案

∫ 1/[(1-cosx)*sinx] dx
= ∫ (1+cosx)/[(1-cos²x)*sinx] dx,分子,分母,各乘以一个(1+cosx)
= ∫ (1+cosx)/sin³x dx
= ∫ csc³x dx + ∫ csc²xcotx dx
= J + ∫ csc²xcotx dx
= J - ∫ cotx d(cotx)
= J - (1/2)cot²x
J = ∫ csc³x dx = -∫ cscx d(cotx),这个是典型的三角函数积分,一般都要熟练的
= -cscxcotx + ∫ cotx d(cscx)
= -cscxcotx - ∫ cot²xcscx dx,分部积分法
= -cscxcotx - ∫ (csc²x-1)*cscx dx
= -cscxcotx - J + ∫ cscx dx
2J = -cscxcotx + ∫cscx(cscx+cotx)/(cscx+cotx) dx
J = -(1/2)cscxcotx - (1/2)ln|cscx+cotx|
∴原式= -(1/2)(cscxcotx + ln|cscx+cotx| + cot²x) + C