已知a,b是两个单位向量,且|ka+b|=√3|a-kb|（其中k>0）

题目

已知a,b是两个单位向量,且|ka+b|=√3|a-kb|（其中k>0）
(1)a与b能垂直吗?（2）若a与b夹角为60°,求k的值

答案

（1）由|ka+b|=√3|a-kb|
平方得到：k^2a^2+2kab+b^2=3(a^2-2kab+k^2b^2),
由a、b是两个单位向量得,a^2=1,b^2=1,
代入上式得到：k^2+2kab+1=3(1-2kab+k^2),
即8kab=2+2k^2,
即ab=(2+2k^2)/8k,
因为k>0,
所以(2+2k^2)/8k>0,
所以ab不等于零,
即它们不能垂直
（2）由k^2a^2+2kab+b^2=3(a^2-2kab+k^2b^2),
将a^2=1,b^2=1,
ab=|a||b|cos60=1/2|a||b|=1/2
代入得到：k^2-2k+1=0,
得到k=1