柯西不等式的问题

题目

柯西不等式的问题
设a,b∈R+,（i=1,2,..,n),且a+b=2
求证:a2/(2-a)+b2/(2-b)≥2

答案

利用柯西不等式,
∵｛[a/√（2-a）]²＋[b/√（2-b）]²｝×｛[√（2-a）]²＋[√（2-b）]²｝≥（a＋b）²
∴a²/(2-a)+b²/(2-b)≥（a＋b）²/（2-a＋2-b） ∵a+b=2 a,b∈R+
∴ a²/(2-a)+b²/(2-b)≥2