设函数fx=（x+1）In（x+1）,若对所有的x大于等于0,都有fx大于等于ax恒成立,求实数a的取值范围

题目

设函数fx=（x+1）In（x+1）,若对所有的x大于等于0,都有fx大于等于ax恒成立,求实数a的取值范围

答案

(x+1)ln(x+1)>=ax
a<=(x+1)ln(x+1)/x=f(x)
f'(x)=(x-ln(x+1))/x^2
令g(x)=x-ln(x+1)
g'(x)=x/(x+1)>=0
所以g(x)为增函数 又g(0)=0
所以g(x)>=0
所以f'(x)=g(x)/x^2>=0
所以f(x)为增函数
f(x)min=lim(x->0) ((x+1)ln(x+1)/x)=lim(x->0) (ln(x+1)+1)=1
所以a<=1