设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数. (1)若f(1)>0,试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集; (2)若f(1)=3/2,且g(x)=a2x+a-2
题目
设函数f(x)=ka
x-a
-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)若f(1)>0,试求不等式f(x
2+2x)+f(x-4)>0的解集;
(2)若f(1)=
答案
(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,可k-1=0,即k=1,
故f(x)=a
x-a
-x(a>0,且a≠1)
∵f(1)>0,∴a-
>0,又a>0且a≠1,∴a>1.
f′(x)=a
xlna+
∵a>1,∴lna>0,而a
x+
>0,
∴f′(x)>0,∴f(x)在R上单调递增
原不等式化为:f(x
2+2x)>f(4-x),
∴x
2+2x>4-x,即x
2+3x-4>0
∴x>1或x<-4,
∴不等式的解集为{x|x>1或x<-4}.
(2)∵f(1)=
,∴a-
=
,即2a
2-3a-2=0,∴a=2或a=-
(舍去).
∴g(x)=2
2x+2
-2x-2m(2
x-2
-x)=(2
x-2
-x)
2-2m(2
x-2
-x)+2.
令t=f(x)=2
x-2
-x,由(1)可知f(x)=2
x-2
-x为增函数
∵x≥1,∴t≥f(1)=
,
令h(t)=t
2-2mt+2=(t-m)
2+2-m
2 (t≥
)
若m≥
,当t=m时,h(t)
min=2-m
2=-2,∴m=2
若m<
,当t=
时,h(t)
min=
-3m=-2,
解得m=
>
,舍去
综上可知m=2.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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