求二次函数的解析式

题目

求二次函数的解析式
（1）已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图像经过点（3,-1）,求二次函数的解析式
（2）已知二次函数的图像经过点（-3,0）,（1,0）,且顶点到x轴的距离等于2,求二次函数的解析式

答案

（1）已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图像经过点（3,-1）,求二次函数的解析式
解析：设二次函数为ax^2+bx+c
函数的对称轴x=-b/2a,最大值为2
又图像的顶点在直线y=x+1上,∴-b/2a+1=2==>b=-2a
∵图像经过点（3,-1）,∴9a+3b+c=-1==>3a+c=-1==>3a=-c-1
将b=-2a,3a=-c-1代入9a+3b+c=-1解得c=-1
函数最大值为(4ac-b^2)/(4a)=2==>-4a-b^2=8a==>b^2=-12a
∴4a^2=-12a==>a=-3,b=6
∴二次函数的解析式为-3x^2+6x-1
（2）已知二次函数的图像经过点（-3,0）,（1,0）,且顶点到x轴的距离等于2,求二次函数的解析式
解析：设二次函数为ax^2+bx+c
∵图像经过点（-3,0）,（1,0）∴9a-3b+c=0 (1),a+b+c=0 (2)
(1)-(2)得2a=b
∵顶点到x轴的距离等于2
函数的对称轴x=-1,∴a-b+c=2==>a+c=b+2
代入（2）得2b+2=0==>b=-1==>a=-1/2==>c=3/2
∴二次函数的解析为-1/2x^2-x+3/2或1/2x^2+x-3/2