计算∫∫x^2*根号（1+y^4）dxdy其中D是由曲线y=x,y=1及x=0所围成的区域

题目

计算∫∫x^2*根号（1+y^4）dxdy其中D是由曲线y=x,y=1及x=0所围成的区域

答案

∫∫_D f(x,y) dσ
= ∫(0→1) dy ∫(0→y) x²√(1 + y⁴) dx
= ∫(0→1) [√(1 + y⁴) · y³/3] dy
= (1/3)(1/4)∫(0→1) √(1 + y⁴) d(1 + y⁴)
= (1/12)(2/3)[(1 + y⁴)^(3/2)]：(0→1)
= (1/18)2^(3/2) - 1/18
= (2√2 - 1)/18