已知定义在R上的函数f(x)＝b−2x2x+a是奇函数 （1）求a，b的值； （2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明； （3）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t2）+f（-k）＞0恒成立，求

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝

b−1

a+1

＝0，
解得b=1，（1分）
∴f(x)＝

1−2x

a+2x

，
∴f(−x)＝

1−2−x

a+2−x

＝

2x−1

a•2x+1

＝−f(x)＝

2x−1

a+2x

∴a•2^x+1=a+2^x，即a（2^x-1）=2^x-1对一切实数x都成立，
∴a=1，
故a=b=1．（3分）
（2）∵a=b=1，
∴f(x)＝

1−2x

1+2x

＝

2

1+2x

−1，
f（x）在R上是减函数．（4分）
证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则f(x1)−f(x2)＝

2

1+2x1

−

2

1+2x2

=-

2(2x1−2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数，（8分）
（3）∵不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，
∴f（t-2t²）＞-f（-k），
∴f（t-2t²）＞f（k），
∵f（x）是R上的减函数，
∴t-2t²＜k（10分）
∴k＞t−2t2＝−2(t−

1

4

)2+

1

8

对t∈R恒成立，
∴k＞

1

8

．（12分）