已知数列{an}为等比数列，a2=6，a5=162． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Sn是数列{an}的前n项和，证明Sn•Sn+2S2n+1≤1．

题目

已知数列{a_n}为等比数列，a₂=6，a₅=162．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，证明

Sn•Sn+2

S 2 n+1

≤1．

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则a₂=a₁q，a₅=a₁q⁴．
依题意，得方程组

a1q＝6 a1q4＝162

解此方程组，得a₁=2，q=3．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2•3^n-1．
（2）Sn＝

2(1−3n)

1−3

＝3n−1．

Sn•Sn+2

S 2 n+1

＝

32n+2−(3n+3n+2)+1

32n+2−2•3n+1+1

≤

32n+2−2 3n•3n+2 +1

32n+2−2•3n+1+1

＝1，
即

Sn•Sn+2

S 2 n+1

≤1．

（1）用等比数列的通项公式分别表示出a₂和a₅，组成方程组求得a₁和q，进而根据等比数列的通项公式求得答案．
（2）根据（1）求得a₁和q，可得前n项的和，代入

Sn•Sn+2

S n+1 2

根据不等式的性质可证明原式．

本题考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．

考点点评：本小题主要考查等比数列的概念、前n项和公式等基础知识，考查学生综合运用基础知识进行运算的能力．