如图,Rt△ABC中,角ACB=90°.以BC为直径作圆心O交AB于D.E为AC中点.连接DE.求证DE是圆心O的切线

题目

如图,Rt△ABC中,角ACB=90°.以BC为直径作圆心O交AB于D.E为AC中点.连接DE.求证DE是圆心O的切线

答案

连接OE,
因为O与E分别是Rt△ABC两条直角边的中点,所以,Rt△ABC与Rt△EOC相似,
所以,EO//AB,则∠ABC=∠EOC,∠BDO=∠EOD
又因为OB=OD=圆的半径,所以,△OBD为等腰三角形,∠OBD=∠ODB
所以,∠ EOC=∠EOD,
且OC=OD=圆的半径,OE为公用边
所以,△EOC≌△EOD,为直角三角形,∠EDO=90°,DE⊥OD,即ED垂直于圆的半径,且D为圆上一点,
所以,DE是以O为圆心、BC一半为半径的圆的切线