若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取
题目
若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)由题意可知,f(0)=1,解得,c=1,
由f(x+1)-f(x)=2x.可知,[a(x+1)
2+b(x+1)+1]-(ax
2+bx+1)=2x,
化简得,2ax+a+b=2x,
∴
,
∴a=1,b=-1.
∴f(x)=x
2-x+1;
(2)不等式f(x)>2x+m,可化简为x
2-x+1>2x+m,
即x
2-3x+1-m>0在区间[-1,1]上恒成立,
设g(x)=x
2-3x+1-m,则其对称轴为
x=,
∴g(x)在[-1,1]上是单调递减函数.
因此只需g(x)的最小值大于零即可,
g(x)
min=g(1),
∴g(1)>0,
即1-3+1-m>0,解得,m<-1,
∴实数m的取值范围是m<-1.
(1)由二次函数可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1求得c的值,由f(x+1)-f(x)=2x可得a,b的值,即可得f(x)的解析式;
(2)欲使在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,只须x2-3x+1-m>0在区间[-1,1]上恒成立,也就是要x2-3x+1-m的最小值大于0,即可得m的取值范围.
函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法.
本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式,以及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化,主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用.属于中档题.
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