非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3,a1,a2,a3是它3个解向量,a1+a2=(1 0 2 1)T,a2+a3=(0 1 3 1)T,求通解.

题目

非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3,a1,a2,a3是它3个解向量,a1+a2=(1 0 2 1)T,a2+a3=(0 1 3 1)T,求通解.

答案

由已知,方程组的导出组 AX=0 的基础解系含 4-3=1 个解向量
所以 (a1+a2) - (a2+a3) = a1-a3 = (1,-1,-1,0)^T 是AX=0 的基础解系.
又 (1/2)(a1+a2) = (1/2,0,1,1/2)^T 是 非齐次线性方程组 的特解
所以通解为 (1/2,0,1,1/2)^T + c (1,-1,-1,0)^T .
注:通解的表示式不唯一.