已知三角形ABC的三边abc和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8 求1.cosA 2.求S最大值

题目

已知三角形ABC的三边abc和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8 求1.cosA 2.求S最大值

答案

根据正弦定理：S=½bcsinA
余弦定理：cosA=(b²+c²-a²)/2bc
由条件S=a²-(b-c)²
所以 S=a²-(b²+c²)+2bc=-[(b²+c²)-a²]+2bc
（1）两边同时除以2bc,得S/2bc=1-[(b²+c²-a²)/2bc]
由正弦定理,左边得¼sinA
由余弦定理,右边得1-cosA
则 ¼sinA=1-cosA 即sinA=4-4cosA
两边都平方,得（sinA）²=16-32cosA+16（cosA）²
由（sinA²）+（cosA）²=1
得 17（cosA）²-32cosA+15=0
解一元两次方程方程得 cosA=（16±√6）/17
因为 cosA不可能大于1,±舍去加号
所以 cosA=（16-√6）/17
（2）不等式原理b+c≥2√bc,两边平方再除以8得½bc≤（b+c)²/8=8²/8=8
则S=½bcsinA≤8sinA=32（1-cosA)=32(1 +√6)/17 (上面得sinA=4-4cosA）
所以S≤32(1 +√6)/17
即S的最大值为32(1 +√6)/17