若不等式（mx-1）[3m2-（x+1）m-1]≥0对∀m∈（0，+∞）恒成立，则x的值为 _ ．

题目

若不等式（mx-1）[3m²-（x+1）m-1]≥0对∀m∈（0，+∞）恒成立，则x的值为 ___ ．

答案

以x为变量 原式等价为（mx-1）（mx-3m²+m+1）≤0对∀m∈（0，+∞）恒成立，
∵二次项系数m²＞0，
∴对应的抛物线f（x）=（mx-1）（mx-3m²+m+1）开口向上，
原式可以看成是两个因式相乘的一元二次不等式只有是完全平方才能恒成立
则等价于：关于m的方程mx-1=0和3m²-（x+1）m-1=0在（0，+∞）上有相同零点．
由mx-1=0得m=

1

x

，则x＞0，
将m=

1

x

代入方程3m²-（x+1）m-1=0得3（

1

x

）²-（x+1）•

1

x

-1=0，
即2x²+x-3=0，
解得x=1或x=-

3

2

（舍去），
故答案为：1．