已知函数f(x)=lnx2-2ax/e,(a∈R,e为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数f(x)的递增区间; (Ⅱ)当a=1时,过点P(0,t)(t∈R)作曲线y=f(x)的两条切线,设两切点为P1(x
题目
答案
(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
f′(x)=
-
=
.
当a=0时,由f′(x)=
≥0,解得x>0;
当a>0时,由f′(x)=
>0,解得0<x<
;
当a<0时,由f′(x)=
>0,解得x>0,或x<
.
所以当a=0时,函数f(x)的递增区间是(0,+∞);
当a>0时,函数f(x)的递增区间是(0,
);
当a<0时,函数f(x)的递增区间是(-∞,
)∪(0,+∞).
(Ⅱ)因为f′(x)=
-
=
,
所以以p
1(x
1,f(x
1))为切点的切线的斜率为
;
以p
2(x
2,f(x
2))为切点的切线的斜率为
.
又因为切线过点p(0,t),
所以
t−lnx12+=(0−x1);
t−lnx22+=(0−x2).
解得,x
12=e
t+2,x
22=e
t+2.则x
12=x
22.
由已知x
1≠x
2所以,x
1+x
2=0.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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