对于自然数1,2,3...,n有1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)／2]²成立,即1³+2³+

题目

对于自然数1,2,3...,n有1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)／2]²成立,即1³+2³+
针对此等式我们提出一个问题,如果数列｛an｝,有an＞0,且满足等式（a1³+a2³+.+an³)=(a1+a2+a3+..+an)²,是否有an=n成立?如果成立证明,否则举反例

答案

是成立的.证明如下：记Sn=a1+a2+a3+..+an；由题有：（a1³+a2³+.+an³)=(Sn)² （a1³+a2³+.+an-1³)=(Sn-1)²两式相减得(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=an³,即(Sn+Sn-1)an=an&s...