设A,B是两个集合,f：A到B,g：B到A.证明：若gf是A到A的恒等映射,则f是单射,g是满射

题目

设A,B是两个集合,f：A到B,g：B到A.证明：若gf是A到A的恒等映射,则f是单射,g是满射

答案

反证若f不是单射,则存在a不等于b,且都属于A 满足f(a)=f(b)因为gf是A到A的恒等映射,则有 a=gf(a)=gf(b)=b ==>a=b 矛盾故f是单射若g不是满射,则存在a∈A,满足对任何b∈B,有g(b)≠a故gf(a）含于g(B),所以gf(a)≠a又...