不等式（m2-2m-3）x2-（m-3）x-1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

题目

不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

答案

若m²-2m-3=0，则m=-1或m=3．…（2分）
若m=-1，不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0为4x-1＜o不合题意；…（4分）
若m=3，不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0为-1＜0对一切x∈R恒成立，所以m=3可取．…（6分）
设f（x）=（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1，
当 m²-2m-3＜0且△=[-（m-3）]²+4（m²-2m-3）＜0，解得：−

1

5

＜m＜3．…（9分）
即−

1

5

＜m＜3时不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0对一切x∈R恒成立，
故m∈(−

1

5

，3]．…（12分）