证明 (1+1/x)的x次方 x趋向无穷 极限e

题目

证明 (1+1/x)的x次方 x趋向无穷 极限e
为什么 1/1+1/1x2+1/1x2x3+1/1x2x3x4+.......=e

答案

在数列极限的部分已经证明了：当n趋近于无穷时,数列(1+1/n)^n趋近于一个常数,把这个常数记为e,这是e的定义（这是定义,不是证明出来的）.
如何证明关于x的函数(1+1/x)^x趋近于e?其实很简单,把这个函数取自然对数,证明xln(1+1/x)趋近于1就可以了.
由于我们知道ln(1+y)可以做泰勒展开=1/x-1/2x^2+1/3x^3-...所以：
xln(1+1/x)=x*(1/x-1/2x^2+1/3x^3-...)=1-1/2x+1/3x^2-...显然当x趋近于无穷时该函数趋近于1
也就证明了当x趋近于无穷是(1+1/x)^x趋近于e.