若a∈A,则1/（1—a)∈A(a≠1).证明集合A中至少有三个元素

题目

若a∈A,则1/（1—a)∈A(a≠1).证明集合A中至少有三个元素

答案

若a∈A（a≠1）,则1/（1-a）∈A,
1/（1-a）∈A,故1/（1-1/（1-a））∈A 即（a-1）/a∈A
若a=1/（1-a）,则a^2-a+1=0,此关于a的方程无实数解,矛盾,
故a不等于1/（1-a）；
若a=(a-1)/a,则a^2-a+1=0,同上矛盾,故这两数不相等
若1/(1-a)=(a-1)/a,则a^2-a+1=0,同上矛盾,故这两数不相等
可见这三个元素两两互不相等,证明了集合A中至少有三个元素