过抛物线Y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45的直线叫抛物线于A,B两点,以AB为直径作圆,则圆心的轨迹方程是

题目

过抛物线Y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45的直线叫抛物线于A,B两点,以AB为直径作圆,则圆心的轨迹方程是

答案

举个例子,若P=3的
y²=2px=6x
所以p/2=3/2
F(3/2,0)
k=tan45=1
所以AB是y=x-3/2
代入
x²-3x+9/4=6x
x²-9x+9/4=0
x1+x2=9
准线x=-3/2
抛物线定义
A和B到焦点距离的等于到准线距离
A到准线距离=x1+3/2,B到准线距离=x2+3/2
所以AB=A到准线距离+B到准线距离
=x1+3/2+x2++3/2
=12
直径是12
r=6
AB中点横坐标(x1+x2)/2=9/2
在y=x-3/2
y=3
所以圆(x-9/2)²+(y-3)²=36